我們能造出莫比烏斯環,卻無法造出克萊因瓶,真正的原因是什麼?

漫酱~ 2023/01/09 檢舉 我要評論

在拓撲學當中有許多神奇的圖形,其中最特別的,應該就是 莫比烏斯環和克萊因瓶了。都是正反難分的代表,但偏偏前者我們可以很輕松地造出來,后者卻如何努力都無法創造。

莫比烏斯環(左)和克萊因瓶(右)

這究竟是為什麼呢?

莫比烏斯環和克萊因瓶

首先我們先來看看大家比較熟悉的莫比烏斯環,如今現在市面上其實有不少它的衍生產物,比如說「莫比烏斯環戒指」。

莫比烏斯環,別稱也叫 莫比烏斯帶,是由約翰·李斯丁和莫比烏斯在1858年發現的。

莫比烏斯帶的發現者

當時他們利用普通的紙條進行實驗,發現 將紙條扭轉180°之后,再將其兩個接頭處粘合在一起,就能夠獲得一個奇怪的「紙環」。

為什麼說這個紙環奇怪呢,是因為 它只有一個單側曲面,在這種情況下,如果將一只螞蟻放在紙環上,并且讓其在上面爬行,這只螞蟻就可以不跨過任何的邊緣,涉足紙環的所有地方。

值得一提的是,在后續的研究當中,人們還發現,并不是只能將紙條旋轉180°,如果你樂意,轉540°甚至900°,得到的產物依舊是「莫比烏斯環」。

莫比烏斯環的制作非常簡單

因此對于莫比烏斯環,人們一直很感興趣,認為它不止與數學有關,與物理學之類的也有密切的關系。在他們看來,這種處在三維歐幾里得空間中的怪圈,實際上是一種 二維單面環狀結構,而我們或許可以依靠它來預測三維空間的某些結構。

簡單來說,如果哪天我們也走在一個像莫比烏斯環一樣的公路上,那麼可能永遠都走不到盡頭。因為它本身就是一個循環,在其中的我們會和螞蟻一樣,迷失方向,無法辨別起點和終點。

人在其中根本無法走出

其次再來看看 克萊因瓶,相較于在不少地方都能見到的莫比烏斯環,克萊因瓶似乎有些冷門。不過,在拓撲學當中,它的地位還是很高的,甚至有某些人認為, 克萊因瓶才是代表著「未來」的東西。

克萊因瓶也叫 克萊因壺,是德國幾何學家菲利克斯·克萊因發現的。它的發現時間要比莫比烏斯環晚一些,大概是1882年。單從這個瓶子的外形來看,根本沒什麼稀奇,就只是形狀比較詭異而已。

被實質化的「克萊因瓶」

這是因為我們現在看到的克萊因瓶,根本算不上是它的真身, 真正的克萊因瓶是不分「內外」的。并且,我們現在看到的那個[插·入]瓶身當中的瓶頸,其實在拓撲圖形中并沒有這樣「相交」。

準確來說, 這個瓶頸是通過第四個維度,來與瓶底實現相連的。這就意味著,進入其中的生物不需要飛越,便可以直接在內外表面反復橫跳。

克萊因瓶的半面走向原理

對此大家可能感到無法理解,那我們就用常見的球狀物體進行舉例。如果我們把一只螞蟻放在圓球的內部,就會發現它只能在內表面中爬行。想爬出來,除非利用口器將這個球咬出一個小洞,然后鉆出來。

可是克萊因瓶當中的螞蟻就沒有這種煩惱,在其表面不會終結的情況下, 只要位于其中就能夠隨意涉足外表面和內表面。從某種角度上來說,這似乎也像莫比烏斯環上的蟲子一樣陷入了「無限循環」。

其實從兩位數學家對它們的發現歷程,以及論證時所用的說法,就能看出前者是可以直接用實物扭出一個模型,后者雖能夠造出來但是本質上卻不是理論里的那個東西。

克萊因瓶從理論上來說是造不出來的

那麼,到底是什麼原因導致了這種情況呢?

為什麼克萊因瓶沒辦法被造出來?

從表面上來看,二者都是人們利用神奇的幾何創造出來的東西。但是從實質上來說,二者涉及的維度確實有巨大差別的,

如果說莫比烏斯環體現的是從二維向三維的跨越,那麼克萊因瓶體現的就是從三維向四維的跨越。

很顯然,我們現在看到的世界是三維的,所以想創造莫比烏斯環是易如反掌的事情,但是克萊因瓶就不行了,因為這家伙涉及四維的東西。

維度的劃分限制了某些理論的實現

畢竟 從目前的維度探索來看,人類對四維只有「抽象」的理解。因此,我們在三維世界中造出的克萊因瓶怎麼可能看著不奇怪呢?

值得一提的是,就算真的有四維空間的生物將一個克萊因瓶帶到人類世界,并且向我們展示,我們可能也無法理解其中的「內涵」。

畢竟,在巨大的維度差距下,我們眼睛看到的依舊是三維世界的東西,大腦中產生的相關理解,也是以三維世界為基準的。這樣的話,根本無法體會真正克萊因瓶的神奇之處。

我們制造出來的只是三維世界的「克萊因瓶」

此外,倘若我們是屬于二維世界的生物,而在那里也想出了神奇的莫比烏斯環理論。面對的其實將是和現在如出一轍的情況,因為這個看似一扭就搞定的紙環,在二維世界是無法被完美創造的。

在那里,眼中只有「橫平豎直」的我們,終其一生也難以理解二維紙張如何變成了三維的紙環。

二維世界的我們無法理解三維理論

說到這兒,大家應該能理解為何這兩個東西一個可以被創造,一個卻不倫不類。

真正的原因就在于「 維度難以跨越」,二維難以跨越到三維,所以那里的「紙片人」造不出莫比烏斯環。三維無法跨越到四維,所以人們造不出克萊因瓶,甚至憑肉眼去看電腦建模,或者想象其真實的模樣,都沒有什麼可供發揮的空間。

從這種角度來說,大抵才算是真正的「降維打擊」吧!因為四維生物只需要利用維度之便,將人類所創造的三維產物進行變換,我們就能陷入內外不分的「循環」當中。 

高維度空間對于我們而言要更為復雜

當然,不論怎樣,人類還是對跨越維度充滿期待的。所以即使克萊因瓶的制造存在諸多困難,人們也依舊在嘗試更進一步。它就像是我們打開「四維空間」的一塊敲門磚,當我們將其真正造出來并直觀理解的時候,就說明人類真的具備「跨越維度」的能力了!

值得一提的是,在研究克萊因瓶時,人們也不忘關注代表從「二維變成三維」的莫比烏斯環,甚至讓它現實生活中得到了應用。

人們給莫比烏斯環戒指寓意永恒的愛

莫比烏斯環在生活中的應用

拋開那些仿照莫比烏斯環制造的裝飾品不說,莫比烏斯環對人類的科技發展其實是做出了不少貢獻的。比如在工業制造領域,就有不少 機械設計的傳送帶或者風扇是仿照它來制造的。

資料顯示普通傳送帶有兩個面,只用到一面,而以莫比烏斯環做傳送帶,因它只有一面,使整條傳送帶環面各處均勻地承受磨損,避免了普通傳送帶單面受損的情況,使得其壽命延長了整整一倍,從而提高了利用效率。

莫比烏斯環傳送帶

除此之外,在許多的音樂磁帶當中,也有莫比烏斯環的身影。它的這種神奇結構, 能夠增加磁帶信息的承載量。相信在未來,莫比烏斯環會帶給我們更多的驚喜。

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