在拓撲學當中有許多神奇的圖形，其中最特別的，應該就是 莫比烏斯環和克萊因瓶了。都是正反難分的代表，但偏偏前者我們可以很輕松地造出來，后者卻如何努力都無法創造。
莫比烏斯環（左）和克萊因瓶（右）
這究竟是為什麼呢？
首先我們先來看看大家比較熟悉的莫比烏斯環，如今現在市面上其實有不少它的衍生產物，比如說「莫比烏斯環戒指」。
莫比烏斯環，別稱也叫 莫比烏斯帶，是由約翰·李斯丁和莫比烏斯在1858年發現的。
莫比烏斯帶的發現者
當時他們利用普通的紙條進行實驗，發現 將紙條扭轉180°之后，再將其兩個接頭處粘合在一起，就能夠獲得一個奇怪的「紙環」。
為什麼說這個紙環奇怪呢，是因為 它只有一個單側曲面，在這種情況下，如果將一只螞蟻放在紙環上，并且讓其在上面爬行，這只螞蟻就可以不跨過任何的邊緣，涉足紙環的所有地方。
值得一提的是，在后續的研究當中，人們還發現，并不是只能將紙條旋轉180°，如果你樂意，轉540°甚至900°，得到的產物依舊是「莫比烏斯環」。
莫比烏斯環的制作非常簡單
因此對于莫比烏斯環，人們一直很感興趣，認為它不止與數學有關，與物理學之類的也有密切的關系。在他們看來，這種處在三維歐幾里得空間中的怪圈，實際上是一種 二維單面環狀結構，而我們或許可以依靠它來預測三維空間的某些結構。
簡單來說，如果哪天我們也走在一個像莫比烏斯環一樣的公路上，那麼可能永遠都走不到盡頭。因為它本身就是一個循環，在其中的我們會和螞蟻一樣，迷失方向，無法辨別起點和終點。
人在其中根本無法走出
其次再來看看 克萊因瓶，相較于在不少地方都能見到的莫比烏斯環，克萊因瓶似乎有些冷門。不過，在拓撲學當中，它的地位還是很高的，甚至有某些人認為， 克萊因瓶才是代表著「未來」的東西。
克萊因瓶也叫 克萊因壺，是德國幾何學家菲利克斯·克萊因發現的。它的發現時間要比莫比烏斯環晚一些，大概是1882年。單從這個瓶子的外形來看，根本沒什麼稀奇，就只是形狀比較詭異而已。
被實質化的「克萊因瓶」
這是因為我們現在看到的克萊因瓶，根本算不上是它的真身， 真正的克萊因瓶是不分「內外」的。并且，我們現在看到的那個[插·入]瓶身當中的瓶頸，其實在拓撲圖形中并沒有這樣「相交」。
準確來說， 這個瓶頸是通過第四個維度，來與瓶底實現相連的。這就意味著，進入其中的生物不需要飛越，便可以直接在內外表面反復橫跳。
克萊因瓶的半面走向原理
對此大家可能感到無法理解，那我們就用常見的球狀物體進行舉例。如果我們把一只螞蟻放在圓球的內部，就會發現它只能在內表面中爬行。想爬出來，除非利用口器將這個球咬出一個小洞，然后鉆出來。
可是克萊因瓶當中的螞蟻就沒有這種煩惱，在其表面不會終結的情況下， 只要位于其中就能夠隨意涉足外表面和內表面。 從某種角度上來說，這似乎也像莫比烏斯環上的蟲子一樣陷入了「無限循環」。
其實從兩位數學家對它們的發現歷程，以及論證時所用的說法，就能看出前者是可以直接用實物扭出一個模型，后者雖能夠造出來但是本質上卻不是理論里的那個東西。
克萊因瓶從理論上來說是造不出來的
那麼，到底是什麼原因導致了這種情況呢？
從表面上來看，二者都是人們利用神奇的幾何創造出來的東西。但是從實質上來說，二者涉及的維度確實有巨大差別的，
如果說莫比烏斯環體現的是從二維向三維的跨越，那麼克萊因瓶體現的就是從三維向四維的跨越。
很顯然，我們現在看到的世界是三維的，所以想創造莫比烏斯環是易如反掌的事情，但是克萊因瓶就不行了，因為這家伙涉及四維的東西。
維度的劃分限制了某些理論的實現
畢竟 從目前的維度探索來看，人類對四維只有「抽象」的理解。因此，我們在三維世界中造出的克萊因瓶怎麼可能看著不奇怪呢？
值得一提的是，就算真的有四維空間的生物將一個克萊因瓶帶到人類世界，并且向我們展示，我們可能也無法理解其中的「內涵」。
畢竟，在巨大的維度差距下，我們眼睛看到的依舊是三維世界的東西，大腦中產生的相關理解，也是以三維世界為基準的。這樣的話，根本無法體會真正克萊因瓶的神奇之處。
我們制造出來的只是三維世界的「克萊因瓶」
此外，倘若我們是屬于二維世界的生物，而在那里也想出了神奇的莫比烏斯環理論。面對的其實將是和現在如出一轍的情況，因為這個看似一扭就搞定的紙環，在二維世界是無法被完美創造的。
在那里，眼中只有「橫平豎直」的我們，終其一生也難以理解二維紙張如何變成了三維的紙環。
二維世界的我們無法理解三維理論
說到這兒，大家應該能理解為何這兩個東西一個可以被創造，一個卻不倫不類。
真正的原因就在于「 維度難以跨越」，二維難以跨越到三維，所以那里的「紙片人」造不出莫比烏斯環。三維無法跨越到四維，所以人們造不出克萊因瓶，甚至憑肉眼去看電腦建模，或者想象其真實的模樣，都沒有什麼可供發揮的空間。
從這種角度來說，大抵才算是真正的「降維打擊」吧！因為四維生物只需要利用維度之便，將人類所創造的三維產物進行變換，我們就能陷入內外不分的「循環」當中。
高維度空間對于我們而言要更為復雜
當然，不論怎樣，人類還是對跨越維度充滿期待的。所以即使克萊因瓶的制造存在諸多困難，人們也依舊在嘗試更進一步。它就像是我們打開「四維空間」的一塊敲門磚，當我們將其真正造出來并直觀理解的時候，就說明人類真的具備「跨越維度」的能力了！
值得一提的是，在研究克萊因瓶時，人們也不忘關注代表從「二維變成三維」的莫比烏斯環，甚至讓它現實生活中得到了應用。
人們給莫比烏斯環戒指寓意永恒的愛
拋開那些仿照莫比烏斯環制造的裝飾品不說，莫比烏斯環對人類的科技發展其實是做出了不少貢獻的。比如在工業制造領域，就有不少 機械設計的傳送帶或者風扇是仿照它來制造的。
資料顯示普通傳送帶有兩個面，只用到一面，而以莫比烏斯環做傳送帶，因它只有一面，使整條傳送帶環面各處均勻地承受磨損，避免了普通傳送帶單面受損的情況，使得其壽命延長了整整一倍，從而提高了利用效率。
莫比烏斯環傳送帶
除此之外，在許多的音樂磁帶當中，也有莫比烏斯環的身影。它的這種神奇結構， 能夠增加磁帶信息的承載量。相信在未來，莫比烏斯環會帶給我們更多的驚喜。
